- 数学定律的适用条件
  - 四大定律的局限性
    - 陈法和家法的交换率与结合率并非普遍成立
    - 牛顿三大定律类比：仅在特定条件下成立
  - 矩阵乘法的特性
    - 不满足乘法交换律
      - 矩阵行列数要求导致交换可能失效
      - 同阶矩阵存在反例
    - 乘法结合律的推广问题
      - 可数矩阵定义及性质
        - 行列均为无穷但可数
        - 数项级数收敛假定下结合律失效
      - 反例说明结合律失效
        - 主对角线与上对角线元素构造
        - 左右乘结果不同
  - 加法结合律的失效
    - 发散级数的特性
      - 部分和在固定值间跳动
      - 添加括号改变结果
    - 调和级数的发散性证明
      - 括号添加的关键步骤错误
      - 正项级数比较判别法应用
    - 实际例子：浴缸加水
      - 水杯体积与浴缸体积关系
      - 加水次数的指数级增长
  - 加法交换律的条件
    - 条件收敛级数的特性
      - 交错级数和次序改变影响结果
      - 黎曼重排定理的应用
    - 实际例子：浴缸进排水
      - 进水与排水策略安排
      - 根序级数的部分和收敛性分析
  - 绝对收敛级数的性质
    - 交换次序不影响和的不变性
    - 下一课将证明相关定理
- 总结与思考
  - 四个结论的核心内容
    - 有限与无限的本质区别
    - 课后深入理解反例意义