- 微积分的重要极限公式 - 与无理数e密切相关 - 探索e的前世今生 - 小气鬼狗蛋的故事引入 - 借款计息问题 - 按月利率计算利息 - 利滚利的收益变化 - 计息次数增加对收益的影响 - 一月计息两次收益2250元 - 一月计息三次收益增加370元 - 一月计息四次收益增加440元 - 极限情况下的本利和探索 - 底和指数中出现变量N的幂指函数 - 即时结算时本利和的变化趋势 - 函数值趋于常数2.718 - 数学实验验证收敛性 - 数学家的研究发现 - 雅各布·贝努利估算极限值在2和3之间 - 欧拉用E表示极限值并证明其为无理数 - 第二重要极限公式的定义 - 当X趋于无穷时,(1+1/X)^X的极限值等于E - 公式变形与应用 - 等价形式:令T=1/X,则当X趋于无穷时T趋于0 - 幂指函数底与指数的关系 - 底为1加无穷小量 - 指数趋于无穷大 - 无穷小量与无穷大量互为倒数 - 实战分析 - 选项A:极限值为1 - 选项B:极限值为E - 选项C:极限值不为E的原因 - 无穷小量与无穷大量不成倒数关系 - 变形法求解极限 - 指数变形为无穷小量的倒数 - 利用幂运算法则简化计算 - 解题关键总结 - 判类型:满足E的无穷次方形式 - 做变形:底为1加无穷小,指数为无穷小的倒数 - 找准无穷小量的重要性 - 无理数E的应用 - 推导对数的倒数公式 - 广泛应用于科学领域 - 测量地球年龄 - 鉴别文物真伪 - 自然现象中的E - 香港青马大桥悬索曲线 - 蜘蛛网的数学之美 - 数学与生活的联系 - 用数学眼光观察世界 - 发现自然与生活的美好