- 龙格现象与高次多项式插值
  - 插值多项式的误差分析
    - 误差公式回顾
      - Rx = fn+1(ξ)/(n+1)! * ωn+1(x)
      - 误差与节点个数和高阶导数相关
    - 误差趋于0的条件
      - 高阶导数一致有界
      - n+1的阶乘增长速度快于区间长度的幂次
  - 龙格现象的定义与特性
    - 典型例子：f(x) = 1/(1+25x²)
      - 函数变化平缓但高阶导数增长迅速
      - 均匀节点插值导致误差增大
    - 现象表现
      - 差值多项式与原函数间误差显著
      - 最大误差随节点增加而增大
  - 龙格现象的原因分析
    - 高阶导数快速增长
    - 等距分布是关键原因
    - 节点组选择的影响
      - 随机节点测试结果不稳定
      - 切比雪夫节点减少误差
  - 高次多项式插值的缺点
    - 计算复杂
    - 非一致收敛性
    - 振荡性明显
  - 替代方法与改进
    - 切比雪夫节点上的高次插值
      - 优势：减少龙格现象，提高精度
      - 劣势：精度有限，振荡性和计算复杂性仍存在
    - 分段多项式插值
      - 优点
        - 低阶多项式拟合大量数据
        - 消除震荡性和不收敛现象
        - 计算相对简单
      - 数值实验结果
        - 分段线性插值效果良好
        - 样条函数插值精度极高
  - 总结与结论
    - 等距节点高次插值易引发龙格现象
    - 分段插值在均匀节点上表现优异
    - 下一节课内容预告：分段插值的具体实现